Nis 122009
 

escher-self portrait

Dilimize Fransızca “perspectif”(bakış açısı)’ten gelen sözcüğün latince tabanı ‘per'(boydan boya), ‘specere’,’spect’ (gözlemek, bakmak) kelimelerinin birleşimiyle “perpektivus” “perspect”(boydan boya derinlemesine bakmak) olarak yer alıyor. Bu konuda derslerde verilen örnekler açısından en yetkin isimlerden İtalyan Carlo Crivelli’in “the annunciation” adlı resmi ya da Giorgio De Chirici resimlerinin bir çoğu olsa da, Alman ressam Albrecht Durer’in bu konudaki teknik kitapları ki perpektif için başlı başına kadrajı sağlayan ve gözü sabitleştiren bir makinası bile mevcuttu ve bu onun bilim arzusunun kanıtıdır ki bu anlamda teorik perspektifin endüstirileşmesine de olanak sağladı… (bkz: zograskop), (bkz: stereoskop)

Durer'in perspektif makinasıAlbrecht Durer’in nü tablolarında kullanılmak üzere geliştirdiği Perspektif Makinası

crivell2Carla Crivelli’nin “The Annunciation” adlı resmi

Diğer yandan perspektif kurallarını altüst eden Maurits Cornelis Escher’in “Convex and Concave”, “Waterfall”, “Ascending and Descending” gibi resimlerinde perspektifin olanaksızlığa da kapı açabildiğini görüyoruz, Tıpkı Salvadore Dali’nin “Crucifixion” adlı resminde üç boyutlu perspektiften dört boyutlu perspektife geçişinde görülebileceği gibi.

escher-ascending-and-descending-mediumEscher’in “Ascending and Descending” adlı eseri

dali_crucifixioSalvador Dali’nin “Crucifixion” adlı tablosu

Haritacılık içinde önemli olan perspektif bir yandan Batı’da boyut, sonsuzluk mesafe bilgisi olarak ele alınırken, Çin ve Japon sanatında “kuş bakışı” gözlemin ilke olarak edinildiği gözüküyor.

Bir çok mimari, 3d , 2d nesnelerin tasarımında kullanılan yazılımlar için gerekli olan perspektif bilgisinin ilk kaynaklarından biri mimari açıdan her ne kadar içgüdüsel hesaplamalarda olsa Antik Yunan’ın anıt mezarlarıdır. (bkz: parthenon). Daha sonra natüralizm etkisiyle işin içine rönesans mimarlarından Filippo Brunelleschei, Leon Battista Alberti ve ressam Piero Della Francesca ile perspektifin öncüsü olarak anılmasına sebebiyet verecek metodoloji sözkonusu olmuştur. Burada Arşimed’in ve Öklid Geometrisinin perspektife tutarlı kurallar getirmesi açısından önemi büyüktür. Zira, Leon Battista Alberti’nin 1435’teki “De Pictura” eserinde perspektifin geometri ve resim sanatını uygulayan bir yasal mimari yöntem olarak ele alması bu metodolojinin ilk sonuçlarıdır.

albertiAlberti’nin çalışmaları mimari perspektif anlayışa yeni bir yön verdi.

Rönesans döneminde matematikçiler cephesinde ise Fransız mimar ve geometri ustası bir matematikçi olan Girard Desarques”in “projektif geometri” kavramını ele alıp, temellendirmesinden ve sonrasında Hean Henri Lambert ve Gaspard Monge adlı matematikçilerin de bu temellerin kanıta dayalı ilişkilendirmelerini yapmadan yaklaşık 100 yıl öncesinde bir isim daha göze çarpar: İtalyan ressam, filozof, astronom Guidobaldo Del Monte’nin 1600 yılında yayınladığı “perspectivae libri vi” adlı eserinde getirdiği optik yanılma ve perspektif üzerine matematiksel tabanlı teorisidir.

davinci_drawingPerspektif ustası Leonardo Da Vinci’nin çizimlerinden biri

Perspektifin felsefeye etkisi ise; bilginin fenemonolojisine dair ve neokantçı görüşleriyle, ayrıca dil ve sembolik formlar felsefesi kitaplarından tanınan alman filozof Ernst Cassirer’in “Rönesans Felsefesinde Evren ve Birey” kitabında “Matematik, bir kavram ve estetik bir kategori olan orantı, araştırmacı ile yaratıcının, doğanın gizemlerini araştıran insanla, yaratıcı sanatçının buluştuğu noktadır.” diyerek perspektifin matematik temelleriyle sanattaki görüntüsüne kattığı gerçeklik ve estetik adına yüceltilmesi olarak yorumlanabilecek kadar önemlidir.

Nis 072009
 

 

Karl Popper'ın Üç Dünya Kuramı

Karl Popper’ın ‘üç dünya kuramı’ şöyle açıklanabilir: 

Popper üç dünya belirlemiştir:  Birinci dünya, doğal çevremizi oluşturan nesne ve olguları; İkinci dünya, insanın düşünme, bilgi edinme, değerlendirme, karar verme gibi öznel süreçleri; Üçüncü dünya ise insanın ikinci dünya’ da oluşturup açığa çıkardığı, giderek nesnel bir kimlik kazanan kültürel bir yapıt ve süreçleri kapsamaktadır. 

Popper’ a göre, ” kültür dünya’ sı ” dediği Üçüncü Dünya, zihinsel etkinliğin ürünüdür. öznel yaşamdan bağımsız nesnel bir yapıya sahiptir. Zihin dünyası da fiziksel dünya ile ilişkilidir. 

Bilim, sanat, felsefe, dil, din ile birlikte matematik de üçüncü dünya’ nın bir parçasıdır. matematiksel nesneler ve bu nesneler arasındaki ilişkiler Üçüncü Dünya’ ya aittir. 

Aristoteles, sayıları, doğaya dayalı soyutlamalar olarak açıklarken, Platon, sayıları, ‘idea’ dediği yetkin formlar olarak tanımlar. Platon’ a göre ‘nokta’, ‘üçgen’, ‘doğru’, ‘çember’ gibi matematiksel nesneler, gerçek fiziksel nesnelerin dünyası yönünden ancak yaklaşık olarak anlaşılabilirler. Öyle ki bu matematiksel nesneler, Platon’ un matematik kavramlarının ‘ideal dünyasında’ yer alırlar. 

Platon’ un dünyası somut nesnelerden değil, matematiksel nesnelerden oluşmuştur. gerçek dış dünyanın işlevleri, yalnızca kesin matematikle, yani platon’ un zeka yoluyla ulaşılabilen ideal dünyasıyla anlaşılabilir. 

Matematiksel doğruluk kavramında ‘mutlak’ ve ‘tanrı vergisi’ olan bir şey vardır. Matematiksel Platonizm’ in ilgi alanı budur. Herhangi bir formel sistemde ise matematiksel doğruluk kavramı ‘insan yapısı’ bir niteliğe sahiptir. 

Karl Popper’ ın Üçüncü dünya’ sına farklı bir yaklaşım Roger Penrose’da görülür. Penrose’ a göre Üçüncü Dünya “kültür dünyası” değil, “Platoncu varlıklar”, diğer bir deyişle ” mutlak matematiksel doğrular dünyasıdır “. 

Continue reading »

Mar 272009
 

pictogram

Mantığın kendi içerisinde dilemmalara sahip olması nedeniyle oluşan çelişkilerle, göstergebilimin(semiyoloji) içerisinde de sorunlara gebe olmasıyla oluşan ve bunları çözümlemeyi amaç edinildiği ilişki türü olarak adlandırabiliriz.Göstergebilimin, sözdizim(sentaks) ve anlambilim(semantiks) gibi iki sistematiğin beraber bir araya getirdiği semboller lugatı olduğu için, bütün olarak bakıldığında mantıkla da ilişkisi olmadığı düşünülemez. Temel bakış açımız; sembollerin egemenliğine dayalı bir dil’in varlığı üzerine oluşturulan kuramsal yapılanmanın incelenmesidir. Bu da karşımıza, matematiği ve sembolik mantıği çıkartır.

Bunlardan birinci inceleme türü; dilin kuramsal çerçevesindeki iletişim biçimleri ve sembolleşmiş araçlar bütünüdür. Misal, mors alfabesi, kızılderililerin dumanla haberleşmeleri, trafik sinyalizasyonu ya da piktogramlar gibi.. Örneğin trafik ışığına bakıldığında kırmızı, yeşil, sarı ışık sürücüler için üç sembolden oluşan bir alfabedir. Buna da üst dil denmektedir. Tam da bu sırada modern mantık üst dil teorisiyle ilişkiye girer ki örneğin sözdizim sisteminde o dili konuşanlarca ve o dildeki gramer ve deyim yapısıyla biçimsel açıdan inceleme olanağı veren kurallar sistemi, diğer yandan anlambilimdeki dili ilgilendiren ve önermelerin ne olduğunu ortaya koyan yasalar diyebileceğimiz sistem. Continue reading »

Mar 192009
 

 

matrix

Minority Report ve The Matrix Trilogy’ de senaryonun mantıklı ilerlemesindeki ana alterlerden birisi olan kahinlere karşı, inanca dayalı sorgulamalarımızın altında yatan felsefe ve matematik konusudur. Fizikçi William Newcomb’un ortaya attığı bu paradoksa göre; kehanetlerine çok güvendiğiniz bir varlık (kısaca kahin diyelim) size bir oyun önerir.  Önünüze iki kutu koyar. kutuların ilki şeffaftır ve içinde bir altın vardır. Diğer kutunun içini göremezsiniz ama içinde ya bir kese altın vardır ya da hiçbirşey yoktur.  Size önerilen seçenekler şunlardır: 

– ya şeffaf olmayan kutuyu alacaksınız 

– ya da iki kutuyu birden alacaksınız 

Fakat kahin, eğer sizin şeffaf kutuyu almadan ikinci kutuyu alacağınızı tahmin ettiyse, o kutuya bir kese altını koyacak ama her iki kutuyu alacağınızı kestirebilirse, bir kese altını ikinci kutuya koymayacaktır. Siz seçiminizi, kahinin kehanetine göre kutuları ayarladıktan sonra yapacaksınız. kutuların tamamı mı bir tanesi mi? Özetle mevzusu bu olan paradoksta felsefecilerin iddiası; kahin yerine, çok uzun zamandır sizi tanıyan bir arkadaşınızı- sevgilini koy, bak bakalım durum değişecek mi? sorusuna karşılık verilen cevabın, değişeceği yönünde olma iddiasıdır. 

Bir yandan oyun teorisinin de konusu olan bu paradoks, reklam vaatlerini verirken, direk pazarlamada, ekonomide, şeyh, üfürükçü, kırıkçı çıkıkçı, reiki, ilaç, tavsiyeleri, the secret argümanları, yöneticilerin geleceğe dair motivasyon vaatleri gibi bir çok ikili ilişkideki ikna gerektiren durumlarda, farkında olmadan yaptıkları iletişim türünün örtülü gerçeğini yansıtan paradokstur da aynı zamanda.

Mar 162009
 

surfx3dscrn

Matematiksel Nesnelerin Varlık Sorunu 

—hakikat nesnellikle ilgilidir; iyilik kavramı ise hemen hemen nesneldir. bu kavramlara bakanın “beğeni”sine bağımlı olan ‘güzellik’ kavramı nesnel değildir.”/mortimer adler-six great ideas—

 Matematiksel nesneler ile fiziksel nesneler arasında bir fark var mıdır? Eğer varsa nasıl bir ayırım yapılabilir? Fiziksel nesneleri somut, matematiksel nesneleri soyut olarak nitelemek mümkün müdür? Matematiğin kapsadığı nesnelerin kaynağı nedir? Matematikçi bu nesneleri nasıl bulur? Bu tarz sorulara cevap veren görüşlerden en önemlileri ‘realizm’, ‘nominalizm’ ve ‘yapımcılık’ olarak belirlenebilir.

Continue reading »

Ara 212008
 

Denis guedj’in yazdığı “Papağan Teoremi, Apostolos Doxiadis’in yazdığı “Petros Amca” ve “Goldbach sanısı” adlı romanlara konu olmuş, 250 yılı geçkin bir süredir ispatlanamayan hipotezdir ki Christian Goldbach’ın ondan aşağı kalmayan ayrı bir cin “Leonhard Euler”‘le yazışmalarında başının altından çıkmış ödülü milyon dolara varan bir hipotezdir.Hipotez der ki; ikiden büyük her çift sayı basamağı ne olursa olsun, iki asal sayının toplamına eşittir. ayrıca üç asal sayının toplamına da eşittir. 6=2+2+2, 8=2+3+3, 10=2+3+5 gibi… Ortaya çıkan mantığa bakıldığında herşey biliniyor yani gidiyor ama mevzu sonsuza kadar süregeldiği için ispatında sonuç çıkmıyor. Bu konuda Bursalı Mühendis Şükrü Şentop tarafından çözüldüğü iddiası mevcut ama henüz otoriteler bir yanıt vermiş değil.

Haz 122008
 


Pulitzer ödülü de mevcut olan, konusunda büyük bir boşluğu dolduran, içindeki bağlantılarla ve örneğin alice harikalar diyarı gibi referans aktarmalarıyla, paradoks, nöroloji, algı eşikleri gibi konularda matematik, nlp, mantık temeli olmayanların kolay kolay sonunu ve başını getiremeyeceği, Douglas Hofstadter’in Kabalcı’dan çıkan, konusundaki en yetkin ve en kalın referans kitabı, hatta ebedi gökçe belik!

Şub 092008
 
Bayes

Etrafımızdaki her türlü olayda kullanılan, 1763’de Thomas Bayes tarafından Royal Society dergisinde ‘Essay towards solving a problem in the doctrine of chances’ (rastlantısallık doktriniyle problem çözümü) makalesiyle ortaya konan ve sonrasında Pierre Simon Laplace tarafından geliştirilen ve çağdaş yaşamın içine dahil edilen olasılık kuramı…

Raslantısal bir olayın gözleminden önce, öne sürülen varsayımlara ilişkin olasılıkların değerlendirilmesine dayanan bu istatiksel çıkarım yöntemine örnekler verirsek;

Continue reading »

Haz 122006
 

 

abacus

Şu ana kadar sayı saymak için bir çok hesaplama yöntemi duymuşsunuzdur.Hesap Makineleri, kalem-kağıt, kum, güneş …vs gibi bir çok alet ve yöntem geliştirildi bu uğurda.

Sayı sayma sistemleri üzerine ilk buluntular,Neanderthallerin yaşadığı 50.000 yıl öncesindeki zaman dilimine kadar gidiyor.Sayılar sözcüklere dökülmeden önce,taş ve parmaklarla gösteriliyordu.Hesaplamar ise halen şu an da bile yaptığımız parmak, parmak boğumları ve sicimlerle atılan düğmelerle yapılırdı.İlk yazılı rakamlar 5000 yıl önce,bilinen en eski sayı sistemlerine sahip olan Mısırlılar ve Sümerlilerde görülüyor.

salamis-tn

 Bilinen en eski hesap yöntemi olan elin kullanımı ise Mısır’dan Eski Yunan’a,Avrupa,İslam ülkeleri,Çin,Hindistan ve Kolomb öncesi Amerika’ya kadar pekçok coğrafya da görebiliriz.Ama elimizin hesaplama yönünden çokta kullanışlı olmaması ve ilk zamanlarda rakamlarla yazılı olarak, hesaplama yama zorluğu ilk mekanik hesap makinelerini doğurdu.İşte bu hesaplama gayelerinin sonucunda oluşan aletlerden biride ABAKÜS’tür.

Continue reading »

Ağu 192005
 

Henri PoincareBilim gerçeklerden kuruludur,tıpkı evin tuğlalardan kurulu olması gibi.
Ancak gerçeklerin toplanması bilim değildir.Tıpkı bir küme tuğlanın ev anlamına gelmemesi gibi
.”

/Henri Poincare

Bir Fransız matematikçisi olan Henri Poincare 1854 yılında Nancy’de doğmuştur. yüksek öğrenimini Polyechnique’de yapmıştır.

Üniversite mezuniyeti sonrası O’nun ilk yaptığı iş Maden Ocakları Birliği’nde bir çeşit mühendislik hizmetidiri. Ancak kısa sürede akademik yaşamı yeğleyecek ve bu göreve Sorbonne Üniversitesi’nde başlayacaktır. Bütün akademik yaşamı sadece bu üniversitede sürmüştür. Bilimsel çalışmalarının yanında hiç aksatmadan sürdürdüğü ders görevleri de vardır. Bu sabır isteyen çalışmaları sonrası, irili ufaklı beşyüz civarında eser vermiştir. Bu sayı belki de matematik tarihinde adı geçen bunca bilginin çalışmalarının çok çok üstünde bulunmaktadır. Çoğu makale ve bildiridir ve hemen tamamına yakını yayımlanmıştır. Aralarında kitaplar da bulunmaktadır ki bu çalışmalardan önemli bulunan bazıları aşağda tanıtılacaktır.

O’nun çalışma konuları daha çok analitik fonksiyonlar, diferansiyel denklemler ve özellikle cebirsel geometri olarak ağırlık kazanmaktadır. ilerideki yıllarda bilim felsefesi ile de ilgilenmiştir. bizim yaklaşımım, O’nun geometriye ilişkin çalışmalarını biraz daha önce çıkarmak olacaktır. Ancak daha önce diğer konulardaki çalışmalarına şöylece değinmekte yarar vardır.

Diferansiyel denklemlerle olan ilgisi daha çok gök mekaniği ve üç cisim porblemleriyle uğraşırken karşılaştığı bir model olması enedeniyle başlamıştır. Benzer şekilde kısmi türevli diferansiyel denklemlere de matematiksel fizik” çalışmaları sırasında ilgi duyacaktır. Bu çalışmaları sırasında iki tür diferansiyel denkele de kendince katkılarda bulunmuştur.

O’nu matematikte en çok etkileyen süreklilik kavramı olmuştur. Bütün çalışmalarında bu düşünce, O’nu yönlendirmiştir. Buna koşut olarak topolojij türden bir çok problemle uğraşmıştır. Giderek bu birikim, O’nun Cebirsel Topoloji’yi kurması aşamasına kadar uzanacaktır.

Bir süre kümeler ile ilgilenecek, karşılaşılan bazı paradoslar nedeniyle biçimcilerle çatışacaktır. Bu davranışlarıyla bir kaç meslektaşlarıyla ters düşmüş bile olsa, O daha çok sezgici görüşü benimseyen tarafta yer almıştır. Continue reading »

Kas 142004
 
Gödel Teoremi
Gödel teoremi şöyle açiklanabilir:
Aksiyomlardan veya yöntemsel kurallardan veya benzerlerinden oluşan herhangi bir biçimsel matematik sistemi, aritmetik teoreminin tanimlamalarını kapsayacak kadar geniş kapsamli olmasıı ve çelişkisiz olmasi koşulu ile, sistemin kapsamına alınan yöntemlerle ne kanıtlanabilir ne de kanıtlanamaz bazı bildirimleri içermelidir. Buna göre bu gibi bildirimlerin doğruluğu hakkında, onaylı yöntemlerle karar verilemez.
Gödel, matematiğin hiçbir alanında tutarlılığın, o düzenin yöntemiyle ispatlanamayacağını ortaya koymuştur. Bunun için dizgenin dışından başka yöntemlere ihtiyaç vardır. öyle ki p gerçekten tutarlı ise, p’ nin tutarlılığı p’ nin terimleriyle oluşturulan bir ispatla ortaya koyulamaz. Tutarlılığa ait bu sonuç, Gödel’ in eksiklik teoremiyle birleştiğinde, Hilbert programının iki amacının ilk amacı olan tutarlılık ve tamlık’ ın gerçekleşme olanağı yoktur.
Gödel’ in eksiklik teoremine göre; tutarlı bir sistemin eksikliği ‘ herhangi tutarlı bir sistemde o sistemin ispatı verilemeyen düzgün bir formülü vardır‘ şeklinde açıklanabilir. bu teoreme göre aritmetik ölçüsünde kurulacak aksiyomatik dizge eksik kalmaktan kurtulamaz. hilbert, programının gerekçesini şu şekilde ortaya koyar:
Teorimin amacı , matematiksel yöntemlerin güvenirliğini bir daha tartışılmayacak bir kesinlikte ortaya koymaktı…kanımca bizi paradokslarla karşı karşıya bırakan şu sıradaki gelişmelere göz yumup geçemeyiz. doğruluk ve kesinliğin kalesi olarak bilinen matematikte herkesin öğrendiği, öğrettiği ve kullandığı tanımlarla dedüktif yöntemlerin yol açtığı saçmalıklara bir bakın. peki ,matematiksel düşünme böylesine kusurluysa , doğruluk ve kesinliği nerede bulacağız?” [david hilbert ” on the infınite” philosophy of mathematics]
‘mars ürünü’ sayılar yani gerçekte marslıların ders kitaplarında yer alan ifadeler denilebilecek şeyleri hayal ederek şu soruyu soralım: 2042985 mars ürünü mü yoksa değil mi? yani 2042985 ifadesiyle mars kitaplarında karşılaşacak mıyız? Gödel şöyle demiştir : “x bir mars-ürünü sayı değildir ifadesi mars matematiğine tercüme edildiğinde, x dünyada gerçekten bir sayı ise ‘x bir mars-ürünü sayı değildir, anlamina gelir. “X bir mars-ürünü sayı değildir” ifadesi  bize uzun basamakli bir sayı gibi görünecektir ancak bu mars dilindeki yazım biçimi, ifadede sözü edilen bizim x sayımızın, sayısal biçimde ifade edilmiş haline karşılık gelecektir.
Teoremler, sembol kalıpları olarak düşünüldüğünde, biçimsel sistemdeki ifade yalnızca kendinden bahsetmez, aynı zamanda teoremin kendine de karşı gelebilir. Gödel, sınırlı aksiyom ve kurallarıyla matematiğin tüm doğrularını barındırmayı amaçlayan biçimsel sistemlerin tutarsızlığını göstermiştir. Biçimsel matematiksel sistem verilen bir matematiksel önerme ile ilgili simgeler dizisinin, sistem içerisinde bir kanıt oluşturup oluşturmadığına karar vermek işleminin ‘hesaplanabilir’ olmasını gerektirir. Önerilen bir kanıtın gerçekten bir kanıt olup olmadığını, tümüyle mekanik ve önceden belirlenmiş bir yöntemle kontrol etmek mümkün olmalıdır. Yani kanıtları kontrol eden bir algoritma bulunmalıdır. Bir biçimsel sistemde ne zaman bir kanıt varsa kanıtı bulmak için de daima bir algoritma vardır. Bir kanıtlar listesine sahip olduğumuzda, formel sistemin ‘tüm’ teoremlerine de sahip olmuş oluruz.
Hilbert, matematik sistemi kapsamında doğru formüle edilmiş herhangi bir matematik önermesinin doğruluğuna ya da yanlışlığına formel bir kanıtla karar vermemizi sağlayacak kadar güçlü bir aksiyomlar ve kurallar sistemi bulmayı başarsaydı, bu gibi önermelerin doğruluğuna karar verilmesini sağlayacak genel bir algoritmik yönteme sahip olacaktık. Böylece, mekanik yöntemimiz herhangi bir aşamada daima son bulacak ve biz de sistemin tüm önermelerinin doğruluğu ya da yanlışlığı hakkında kara vermemizi sağlayan evrensel bir algoritmaya sahip olacaktık. Oysa bu durumda, turing’ in matematik önermelerle ilgili karar vermeyi sağlayan genel bir algoritmanın var olmadığına dair bulduğu sonucun aksi kanıtlanmış olacaktı.
Turing makinelerinin(bkz: turing makinesi) durup durmamasına ilişkin karar verebilecek hiçbir algoritmanın var olmadığını göstermekle Turing, matematik önermelerle ilgili karar vermenin genel algoritmasının bulunmadığını göstermiştir. Bu da genel nitelikte, iyi tanımlanmış tüm matematik problemlerini çözümlemesi için algoritmik bir yönteme ihtiyaç duyan hilbert probleminin çözümsüzlüğü demektir.